條件機率¶

定義

給定 \(\mathbb{P}(B) > 0\) ，則

\[ \mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \]

機率上的獨立¶

定義

若兩事件 \(A\) 與 \(B\) 相互獨立，則

\[ \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B) \]

因為 \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A|B) \cdot \mathbb{P}(B)\)，可以得到 \(\mathbb{P}(A|B) \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)\) ，消掉兩邊的 \(\mathbb{P}(B)\) 以後，可以得到 \(\color{red}{\mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A)}\) 。
\(\mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A)\) 的意涵為，不論有沒有給定 \(B\) 都不影響 \(A\) 發生的機率，所以可以說兩者獨立。